解题思路：（1）求出BQ、OP、CQ、AP的值，求出DE的值，根据三角形的面积公式求出即可；
（2）把二次函数的解析式化成顶点式，即可求出答案；
（3）若∠AEP=90°，根据DE=AD=[1/2]AP，代入求出即可；若∠APE=90°，根据PE=DE=PA，代入求出t即可．
（1）经过t秒时，BQ=t，OP=2t，则CQ=3-t，AP=4-2t，
∵A（4，0〕，C（0，4〕．
∴AO=CO，
∵∠AOC=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵CB∥AO，
∴∠BCA=∠OAC=45°，
∴QE=CQ=3-t，
∴DE=1+t，
∴S△APE=[1/2]AP×DE=[1/2]（4-2t）（1+t）=-t2+t+2（0≤t≤2）．
∴S=-t2+t+2（0≤t≤2）；
（2）S=-t2+t+2，
=-(t−
1
2) 2+[9/4]，
∵0≤t≤2，
∴当t=[1/2]时，S的值最大．
（3）存在，
若∠AEP=90°，则DE是等腰直角三角形APE底边AP上的高，
∴DE=AD=[1/2]AP，
∴1+t=[1/2]（4-2t），
解得：t=[1/2]，
∴P的坐标是（1，0）；
若∠APE=90°，则此时PE与DE重合，
∴PE=DE=PA，
1+t=4-2t，
t=1，
∴P的坐标是（2，0），
综上所述P的坐标为（1，0）或（2，0）．
点评：
本题考点： 直角梯形；二次函数的最值；三角形的面积；直角三角形的性质．
考点点评： 本题考查了对二次函数的最值，直角梯形，直角三角形的性质，三角形的面积等知识点的应用，解此题的关键是求出S与t的函数关系式和能否求出符合条件的t的值，用的数学思想是分类讨论思想，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时也培养了学生的计算能力．