已知多项式2x4-3x3+ax2+7x+b能被x2+x-2整除,则[a/b]的值是______.

4个回答

  • 解题思路:由于x2+x-2=(x+2)(x-1),而多项式2x4-3x3+ax2+7x+b能被x2+x-2整除,则2x4-3x3+ax2+7x+b能被(x+2)(x-1)整除.运用待定系数法,可设商是A,则2x4-3x3+ax2+7x+b=A(x+2)(x-1),则x=-2和x=1时,2x4-3x3+ax2+7x+b=0,分别代入,得到关于a、b的二元一次方程组,解此方程组,求出a、b的值,进而得到[a/b]的值.

    ∵x2+x-2=(x+2)(x-1),

    ∴2x4-3x3+ax2+7x+b能被(x+2)(x-1)整除,

    设商是A.

    则2x4-3x3+ax2+7x+b=A(x+2)(x-1),

    则x=-2和x=1时,右边都等于0,所以左边也等于0.

    当x=-2时,2x4-3x3+ax2+7x+b=32+24+4a-14+b=4a+b+42=0 ①

    当x=1时,2x4-3x3+ax2+7x+b=2-3+a+7+b=a+b+6=0②

    ①-②,得

    3a+36=0,

    ∴a=-12,

    ∴b=-6-a=6.

    ∴[a/b]=[−12/6]=-2.

    故答案为-2.

    点评:

    本题考点: 解二元一次方程组;有理数的除法;代数式求值;因式分解-十字相乘法等.

    考点点评: 本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用.在因式分解时,一些多项式经过分析,可以断定它能分解成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程(或方程组),解出待定字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待定系数法.本题关键是能够通过分析得出x=-2和x=1时,原多项式的值均为0,从而求出a、b的值.本题属于竞赛题型,有一定难度.