Question

求cos(α+β)值的题目已知acosx+bsinx+c=o有两个相异的根.α,β,其中有a²+b²

Answer 1

由a²+b²≠0可知 a≠0且b≠0

令 cosθ＝b/√(a²+b²) 则 sinθ＝a/√(a²+b²)

原方程可变形为:sinx·b＋cosx·a＝－c

[sinx·b/√(a²+b²)＋cosx·a/√(a²+b²)]＝－c/√(a²+b²)

sinx·cosθ＋cosx·sinθ＝－c

即 sin(x+θ)＝－c/√(a²+b²)

∵ α,β是原方程两个相异的根

∴ sin(α+θ)＝sin(β+θ)＝－c/√(a²+b²) ; α≠β

∴ α+θ＝β+θ+2kπ ...①

或 α+θ＋β+θ＝2kπ＋π ...②

由已知 x∈(0,π),得 α∈(0,π)且β∈(0,π) α+β∈(0,2π)

故第①种情况不成立,即 α＋β＝2kπ+π－2θ

∴ cos(α＋β)＝cos(2kπ+π－2θ)＝cos(π－2θ)＝—cos2θ

＝－(2cos²θ—1)

＝1－2b²/(a²+b²)