Question

已知函数f（x）=2x（ex-1）-x2（x∈R）．

Answer 1

解题思路：（1）显然0是函数f（x）的零点，令g（x）=2（e^x-1）-x，证明函数g（x）在（ln[1/2]，+∞）上有一个零点即可；

（2）根据函数y=g（x）的图象与函数h（x）=-[1/2]f（-x）-[1/2]x²+x的图象关于直线x=l对称，可得函数y=g（x）的解析式，构造F（x）=h（x）-g（x），确定单调性，即可得到结论；

（3）h′（x）=（1-x）e^-x，确定函数的单调性，可得函数在x=1处取得极大值，进而判断（x₁-1）（x₂-1）＜0，不妨设x₁＜1，x₂＞1，利用h（x₂）＞g（x₂）=h（2-x₂），即可得到结论．

（1）证明：显然0是函数f（x）的零点，令g（x）=2（e^x-1）-x，则g′（x）=2e^x-1

令g′（x）=0，则x=ln[1/2]，∴函数在（-∞，ln[1/2]）单调递减，在（ln[1/2]，+∞）上单调递增

∵0是函数g（x）的零点，0∈（-∞，ln[1/2]），g（ln[1/2]）＜0

∴函数g（x）在（ln[1/2]，+∞）上有一个零点

∴函数f（x）有且只有两个零点；

（2）证明：函数y=g（x）上取点（x，y），则关于直线x=l对称的点为（2-x，y），

∵函数h（x）=-[1/2]f（-x）-[1/2]x²+x=xe^-x，∴y=e^2-x，

令F（x）=h（x）-g（x）=xe^-x-e^2-x，则F′（x）=e^-x-xe^-x-e^2-x，

∴x＞1时，F′（x）＞0，∴F（x）＞F（1）=0，∴当x＞l时，h（x）＞g（x）；

（3）不妨设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x，y），

h′（x）=（1-x）e^-x，当h′（x）＞0，即x＞1时，h（x）为增函数；当h′（x）＜0，即x＜1时，h（x）为减函数，

∴函数在x=1处取得极大值

①若（x₁-1）（x₂-1）=0，由h（x₁）=h（x₂），得x₁=x₂，与x₁≠x₂矛盾；

②若（x₁-1）（x₂-1）＞0，由h（x₁）=h（x₂），得x₁=x₂，与x₁≠x₂矛盾；

根据①②可得（x₁-1）（x₂-1）＜0，不妨设x₁＜1，x₂＞1

由（2）可知h（x₂）＞g（x₂）=h（2-x₂），∴h（x₁）=h（x₂）＞g（x₂）=h（2-x₂），

∵x₂＞1，∴2-x₂＜1

∵x₁＜1，h（x）在（-∞，1）上为增函数

∴x₁＞2-x₂，∴x₁+x₂＞2，∴x＞1

∴线段AB的中点C不属于集合M．

点评：

本题考点： 函数与方程的综合运用；函数的零点．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的零点，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，难度大．