Question

已知:A为n阶实正定对称矩阵,B为n阶反实对称矩阵 证:det(A+B)> 0

Answer 1

A为n阶实正定对称矩阵,

==>A=PP^T (存在P可逆)

B为n阶反实对称矩阵

==》P^{-1}BP^{-1}^T为n阶反实对称矩阵,

==》P^{-1}BP^{-1}^T的特征值都是实部为0的复数,

==》:det(A+B)=|A||E+P^{-1}BP^{-1}^T|= 》0

方法2：反证法

|A+B| x^T（A+B）x=x^T（A）x>0

矛盾