Question

做到一道题目,是交错级数的,我用莱布尼茨做是收敛的,再取绝对值发现又是绝对收敛的,答案写的是绝对收敛,我想问,我写收敛是

Answer 1

收敛的级数不一定绝对收敛.

比如：1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 -...

这个交错级数是收敛的,原因不多说了,（其实它的极限就是ln2,把ln(1+x)用泰勒级数展开,然后x取1）.

但是取绝对值之后就成了调和级数了 1 + 1/2 + 1/3 + ...

很显然是发散的.

其实仔细想想也知道收敛的级数不一定绝对收敛.万事万物存在都有它的道理,如果“收敛”和“绝对收敛”可以互推的话,那两者就变得等价了啊,那何必多此一举,造个新的名词“绝对收敛”出来呢!