Question

如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数y= 1 4 x 2 在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为（0，1），直线l

Answer 1

（1）证明：∵A（0，1），B（0，-1），

∴OA=OB．（1分）

又∵BQ ∥ x轴，

∴HA=HQ；（2分）

（2）证明：①由（1）可知AH=QH，∠AHR=∠QHP，

∵AR ∥ PQ，

∴∠RAH=∠PQH，

∴△RAH≌△PQH．（3分）

∴AR=PQ，

又∵AR ∥ PQ，

∴四边形APQR为平行四边形．（4分）

②设P（m，

1

4 m ²），

∵PQ ∥ y轴，则Q（m，-1），则PQ=1+

1

4 m ²．

过P作PG⊥y轴，垂足为G．

在Rt△APG中，AP=

A G 2 +P G 2 =

(

1

4 m 2 -1) 2 + m 2 =

(

1

4 m 2 +1) 2 =

1

4 m 2 +1=PQ，

∴平行四边形APQR为菱形；（6分）

（3）设直线PR为y=kx+b，

由OH=CH，得H（

m

2 ，0），P（m，

1

4 m ²）．

代入得：

m

2 k+b=0

km+b=

1

4 m 2 ，

∴

k=

m

2

b=-

1

4 m 2 ．

∴直线PR为 y=

m

2 x-

1

4 m 2 ．（7分）

设直线PR与抛物线的公共点为（x，

1

4 x ²），代入直线PR关系式得：

1

4 x ²-

m

2 x+

1

4 m ²=0，

1

4 （x-m） ²=0，

解得x=m．得公共点为（m，

1

4 m ²）．

所以直线PH与抛物线y=

1

4 x ²只有一个公共点P．（8分）