Question

如图,PA,PB分别切圆O与AB两点

Answer 1

证法1：

AB·PB-AC· PC=AB·PC-AC·PB

(AB+AC)PB=(AB+AC)PC

PB=PC;

∵PA,PB为切线

∴PA=PB=PC;

∵AP⊥PC

∴∠PAC=∠PCA=45°

∠PAB=∠PBA

∠APB=180-2∠PAB;

∠BPC=90-∠APB=90-（180-2∠PAB）=2∠PAB-90°

∵∠PAB=2∠BPC

1/2∠PAB=2∠PAB-90°

∠PAB=60°

∠BPC=1/2∠PAB=30°

∠PCB=∠PBC=1/2(180-∠BPC)=75°

∴∠ACB=∠PCB-∠PCA=75-45=30°；

证法2：

AB·PB-AC· PC=AB·PC-AC·PB

(AB+AC)PB=(AB+AC)PC

PB=PC;

∵PA,PB为切线

∴PA=PB=PC;

∴ABC在P点为圆心PA为半径的圆上；

∴∠ACB=1/2∠APB(同弧所对的圆周角是圆心角的一半）

∠PAB=∠PBA

∠APB=180-2∠PAB;

∵AP⊥PC

∠BPC=90-∠APB=90-（180-2∠PAB）=2∠PAB-90°

∵∠PAB=2∠BPC

1/2∠PAB=2∠PAB-90°

∠PAB=60°

∴∠ACB=1/2*60=30°