Question

设f（x）=x-[4/x]（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并用定义证明．

Answer 1

解题思路：（1）利用奇偶性的定义进行判断；

（2）利用函数单调性的定义进行判断、证明．

（1）函数的定义域为{x|x≠0}．

因为f（-x）=-x-[4/−x]=-（x-[4/x]）=-f（x），

所以f（x）是奇函数．

（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数．

证明：设0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（x₁-

4

x1）-（x₂-

4

x2）=

(x1−x2)(x1x2+4)

x1x2．

因为0＜x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂+4＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），

故f（x）在（0，+∞）上单调递增．

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题考查函数的奇偶性、单调性，定义法是解决该类问题的基本方法．