Question

已知椭圆与双曲线x23−y2＝1有共同的焦点，且过点P（2，3），求双曲线的渐近线及椭圆的方程．

Answer 1

解题思路：先把曲线的标准标准方程，其渐近线方程是

x

2

3

−

y

2

＝0

，整理后就得到双曲线的渐近线方程．利用椭圆与双曲线有共同的焦点F₁（-2，0），F₂（2，0），设出椭圆方程，再利用点P（2，3）适合椭圆方程，就可求出椭圆的方程．

双曲线的标准形式为

x2

3−y2＝1，

其渐近线方程是

x2

3−y2＝0，

整理得双曲线的渐近线为：x±

3y=0．

由共同的焦点F₁（-2，0），F₂（2，0），可设椭圆方程为

y2

a2+

x2

b2＝1，

点P（2，3）在椭圆上，

4

a2+

9

b2＝1

a 2−b 2＝4，

∴a²=16，b²=12，

所以椭圆方程为：

y2

16+

x2

12＝1．

点评：

本题考点： 圆锥曲线的共同特征．

考点点评： 本题考查本题考查双曲线的标准方程，以及椭圆的标准方程的求法，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．在求双曲线与椭圆的标准方程时，一定要先分析焦点所在位置，再设方程，避免出错．