设函数f(x)=a-22x+1(1)求证:f(x)是增函数;(2)求a的值,使f(x)为奇函数;(3)当f(x)为奇函数

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  • 解题思路:(1)单调性的证明,要设出单调区间上的自变量x1<x2,作差f(x1)-f(x2)在进行化简,分解成因式的积或商的形式,来判断符号,(2)要充分利用函数的奇偶性的概念,对于奇函数有一个结论:奇函数在x=0处有定义,则有f(0)=0,本题可以充分利用这一点来求参数a的值.(3)可有(2)的结论求出f(x)的解析式后,求函数的值域.

    (1)证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2

    f(x1)-f(x2)=a-

    2

    2x1+1-a+

    2

    2x2+1=

    2(2x1−2x2)

    (2x1+1)(2x2+1)(2分)

    ∵y=2x在(-∞,+∞)上递增,而x1<x2∴2x1<2x2∴2x1-2x2<0(4分)

    又(2x1+1)(2x2+1)>0∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2

    ∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数(6分)

    (2)f(x)为奇函数,f(0)=a-

    2

    20+1=a-1=0∴a=1

    经检验,a=1时f(x)是奇函数(10分)

    (3)由(2)知,f(x)=1-

    2

    2x+1

    ∵2x+1>1∴0<

    1

    2x+1<1∴f(x)∈(-1,1)(14分)

    点评:

    本题考点: 函数单调性的判断与证明;函数的值域;函数奇偶性的判断.

    考点点评: 本题考查了函数的单调性,奇偶性的概念及其判断、证明,函数的值域的求法.对于利用定义来证明函数的单调性要注意做差后对式子f(x1)-f(x2)的化简,利用符号法则来判断其符号.