解题思路:(1)单调性的证明,要设出单调区间上的自变量x1<x2,作差f(x1)-f(x2)在进行化简,分解成因式的积或商的形式,来判断符号,(2)要充分利用函数的奇偶性的概念,对于奇函数有一个结论:奇函数在x=0处有定义,则有f(0)=0,本题可以充分利用这一点来求参数a的值.(3)可有(2)的结论求出f(x)的解析式后,求函数的值域.
(1)证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2
f(x1)-f(x2)=a-
2
2x1+1-a+
2
2x2+1=
2(2x1−2x2)
(2x1+1)(2x2+1)(2分)
∵y=2x在(-∞,+∞)上递增,而x1<x2∴2x1<2x2∴2x1-2x2<0(4分)
又(2x1+1)(2x2+1)>0∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)
∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数(6分)
(2)f(x)为奇函数,f(0)=a-
2
20+1=a-1=0∴a=1
经检验,a=1时f(x)是奇函数(10分)
(3)由(2)知,f(x)=1-
2
2x+1
∵2x+1>1∴0<
1
2x+1<1∴f(x)∈(-1,1)(14分)
点评:
本题考点: 函数单调性的判断与证明;函数的值域;函数奇偶性的判断.
考点点评: 本题考查了函数的单调性,奇偶性的概念及其判断、证明,函数的值域的求法.对于利用定义来证明函数的单调性要注意做差后对式子f(x1)-f(x2)的化简,利用符号法则来判断其符号.