Question

已知数列{a n }中a 1 = 3 5 ，a n =2- 1 a n-1 （n≥2，n∈N*），数列{b n }，满足

Answer 1

（1）由题意知b _n=

1

a n -1 ，∴b _n-b _n-1=

a n-1

a n-1 -1 -

1

a n-1 -1 =1（n∈N*），

∴数列{b _n]是首项为b ₁=

1

a 1 -1 =-

5

2 ，公差为1的等差数列．

（2）依题意有．a _n-1=

1

n-

7

2

S _n=（a ₁-1）•（a ₂-1）+（a ₂-1）•（a ₃-1）+…+（a _n-1）•（a _n+1-1）= -

2

5 -

1

n-

5

2 ，

设函数 y=

1

x-

5

2 ，则函数在（

5

2 ，+∞）上为减函数．

S _n在[3+∞）上是递增，且S _n＜ -

2

5 ，故当n=3时，且S _n= -

2

5 -

1

n-

5

2 ，取最小值-

12

5 ．

而函数 y=

1

x-

5

2 在（-∞，

5

2 ）上也为减函数，S _n在（1，2]上是递增，且S _n＞ -

2

5 ，

故当n=2时，S _n取最大值：S ₂=

8

5 ．S _n的最大值为

8

5 ．