Question

在直角坐标系xOy中，点 M(2，- 1 2 ) ，点F为抛物线C：y=mx 2 （m＞0）的焦点，线段MF恰被抛物线C

Answer 1

（Ⅰ）焦点F的坐标为 (0，

1

4m ) ，线段MF的中点 N(1，

1

8m -

1

4 ) 在抛物线C上，

∴

1

8m -

1

4 =m ，∴8m ²+2m-1=0，∴ m=

1

4 （ m=-

1

2 舍）．…（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：抛物线C：x ²=4y，F（0，1）．

设l方程为： y+

1

2 =k(x-2) ，A（x ₁，y ₁）、B（x ₂，y ₂），

则由

y+

1

2 =k(x-2)

x 2 =4y 得：x ²-4kx+8k+2=0，△=16k ²-4（8k+2）＞0，

解得 k＜

2-

6

2 或 k＞

2+

6

2 ．

由韦达定理可得，

x 1 + x 2 =4k

x 1 x 2 =8k+2 ，…（8分）

假设k ₁，k ₂，k ₃能成公差不为零的等差数列，则k ₁+k ₃=2k ₂．

而 k 1 + k 3 =

y 1 -1

x 1 +

y 2 -1

x 2 =

x 2 y 1 + x 1 y 2 - x 2 - x 1

x 1 x 2 =

x 2 x 1 2

4 +

x 1 x 2 2

4 - x 2 - x 1

x 1 x 2

=

(

x 1 x 2

4 -1)( x 1 + x 2 )

x 1 x 2 =

(

8k+2

4 -1)•4k

8k+2 =

4 k 2 -k

4k+1 ，…（11分）

∵ k 2 =-

3

4 ，∴

4 k 2 -k

4k+1 =-

3

2 ，8k ²+10k+3=0，解得： k=-

1

2 ＜

2-

6

2 （符合题意）， k=-

3

4 （此时直线l经过焦点F，k ₁=k ₂=k ₃，不合题意，舍去），…（14分）

直线l的方程为 y+

1

2 =-

1

2 (x-2) ，即x+2y-1=0．

故k ₁，k ₂，k ₃能成公差不为零的等差数列，直线l的方程为：x+2y-1=0． …（15分）