第一个问题：
设直线与圆的交点为坐标分别是（a,√3）、（b,√3）.
将y＝√3代入给定的圆的方程中,得：x^2＋3－2x＋F＝0,即：x^2－2x＋3＋F＝0.
显然,a、b是方程：x^2－2x＋3＋F＝0的两根,由韦达定理,有：
a＋b＝2,且ab＝3＋F.
依题意,有：｜a－b｜＝2√2,∴a^2－2ab＋b^2＝8,∴（a＋b）^2－4ab＝8,
∴2^2－4（3＋F）＝8,∴1－（3＋F）＝2,∴F＝－4.
∴满足条件的圆的方程是：x^2＋y^2－2x－4＝0,即：（x－1）^2＋y^2＝5.
第二个问题：
令直线y＝2x＋m与圆x^2＋y^2－2x－4＝0的交点为A（c,2c＋m）、B（d,2d＋m）.
得：OA的斜率＝（2c＋m）/c,OB的斜率＝（2d＋m）/d.
∵OA⊥OB,∴［（2c＋m）/c］［（2d＋m）/d］＝－1,
∴［4cd＋2m（c＋d）＋m^2］/（cd）＝－1,∴4＋［2m（c＋d）＋m^2］/（cd）＝－1,
∴［2m（c＋d）＋m^2］/（cd）＝－5.
将y＝2x＋m代入x^2＋y^2－2x－4＝0中,得：x^2＋（2x＋m）^2－2x－4＝0,
∴5x^2＋（4m－2）x＋m^2－4＝0.
显然,c、d是方程：5x^2＋（4m－2）x＋m^2－4＝0的根,由韦达定理,有：
c＋d＝（2－m）/5,且cd＝（m^2－4）/5.代入［2m（c＋d）＋m^2］/（cd）＝－5中,得：
｛2m［（2－m）/5］＋m^2｝/［（m^2－4）/5］＝－5,
∴［2m（2－m）＋5m^2］＝－5（m^2－4）,∴4m－2m^2＋5m^2＝－5m^2＋20,
∴8m^2＋4m－20＝0,∴2m^2＋m－5＝0,
∴m＝［－1±√（1＋4×2×5）］/4＝（－1±√41）/4.
即满足条件的m的值有两个,分别为：（－1＋√41）/4、（－1－√41）/4.