Question

正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，E，F分别是棱AA 1 ，BB 1 的中点．

Answer 1

证明：（1）如图，

连结AC，AD ₁，CD ₁，A ₁C ₁，A ₁B，C ₁B．

∵ABCD-A ₁B ₁C ₁D ₁是正方体，∴AA ₁∥ CC ₁，AA ₁=CC ₁，

∴四边形AA ₁C ₁C为平行四边形，∴A ₁C ₁∥ AC．

A ₁C ₁⊄平面ACD ₁，AC⊂平面ACD ₁，∴A ₁C ₁∥ 平面ACD ₁；

∵A ₁D ₁∥ BC，A ₁D ₁=BC，∴四边形A ₁BCD ₁为平行四边形，∴A ₁B ∥ CD ₁．

A ₁B⊄平面ACD ₁，CD ₁⊂平面ACD ₁，∴A ₁B ∥ ⊄平面ACD ₁，

又A ₁B∩A ₁C ₁=A ₁，

∴平面A ₁BC ₁∥ 平面ACD ₁；

（2）连结C ₁F，∵E，F分别是棱AA ₁，BB ₁的中点，∴EF ∥ C ₁D ₁，EF=C ₁D ₁

∴EFC ₁D ₁是平行四边形，∴D ₁F ∥ C ₁E．

设正方体ABCD-A ₁B ₁C ₁D ₁的棱长为2，解直角三角形求得 A 1 C 1 =2

2 ， A 1 F= C 1 F=

5 ．

在△A ₁C ₁F中，由余弦定理得 cos∠ A 1 F C 1 =

A 1 F 2 + C 1 F 2 - A 1 C 1 2

2 A 1 F• C 1 F =

(

5 ) 2 +(

5 ) 2 -(2

2 ) 2

2×

5 ×

5 =

1

5 ．

∴异面直线A ₁F与D ₁E所成的角的余弦值是

1

5 ．

1年前

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