如图所示,角A为钝角,且cosA=−45,点P,Q分别在角A的两边上.

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  • 解题思路:(1)利用余弦定理列出关系式,将cosA,AP与AQ的值代入计算即可求出PQ的长;

    (2)由cosα的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值,利用三角形的内角和定理及诱导公式变形求出sin(α+β)与cos(α+β)的值,将所求式子变形后利用两角和与差的正弦函数公式化简,把各自的值代入计算即可求出值.

    (1)∵A是钝角,cosA=-[4/5],AP=5,AQ=2,

    在△APQ中,由余弦定理得PQ2=AP2+AQ2-2AP•AQcosA,

    ∴PQ2=52+22-2×5×2×(-[4/5])=45,

    ∴PQ=3

    5;

    (2)∵α为三角形的角,cosα=[12/13],

    ∴sinα=

    1−cos2α=[5/13],

    又sin(α+β)=sin(π-A)=sinA=[3/5],cos(α+β)=cos(π-A)=-cosA=[4/5],

    ∴sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)=[5/13]×[4/5]+[12/13]×[3/5]=[56/65].

    点评:

    本题考点: 余弦定理.

    考点点评: 此题考查了余弦定理,两角和与差的正弦函数公式,诱导公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.