椭圆的左、右焦点分别是F 1 ，F 2 ，过F - 知识问答

椭圆的左、右焦点分别是F 1 ，F 2 ，过F 1 的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且|AF 2 |，|AB|，|B

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椭圆
的左、右焦点分别是F₁，F₂，过F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列．
（1）求证：
；
（2）若直线l的斜率为1，且点（0，﹣1）在椭圆C上，求椭圆C的方程．
（1）证明：由题设，∵|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列，
∴2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，
由椭圆定义|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4a，
所以，
．
（2）由点（0，﹣1）在椭圆C上，可设椭圆C的方程为
，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F₁（﹣c，0），l：x=y﹣c，
代入椭圆C的方程，整理得（a²+1）y²﹣2cy﹣1=0，（*）
则
=
，
于是有
，
，
故椭圆C的方程为
．

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