Question

已知圆O的弦AB和CD相交于圆O内一点P,若∠OPB=∠OPC,则PA=PD,弧AB=弧CD是否成立?为什么?

Answer 1

作OE垂直于AB,OF垂直于CD,垂足分别是E,F,

因为∠OPB=∠OPC,OE垂直于AB,OF垂直于CD,

所以 OE=OF(角平分线的性质定理),

所以AB=CD(弦心距、弦、弧三个量有一组对应相等,则其余两组量也对应相等),

所以：弧AB=弧CD（弦心距、弦、弧三个量有一组对应相等,则其余两组量也对应相等)

再证得三角形OPE全等于三角形OPF,可得PE=PF,

又因为OE垂直于AB,OF垂直于CD,

所以AE=DE=1/2AB=1/2CD(垂径定理),

所以AE-PE=DF-PF,即PA=PD,