Question

证明一个函数的单调性和极限,证明图片中的函数的单调递增和当k趋向于正无穷大时,其极限为1/2它的极限已经得到证明,现在请

Answer 1

很明显这儿的K是正整数啊,呵呵公式编辑器

假设上面的条件是成立的,我们来看这哥问题啊；

单调性自己用定义检验,比较容易

首先化简分子{ln(k^k)/((k+1)^k)+ln((k+2)^(k+1)/((k+1)^(k+1))}

=ln((k/k+1)^k)+ln(((k+2)/(k+1))^(k+1))

=k*ln(1-(1/(k+1))+(k+1)*ln(1+1/(k+1))

下面的分母用同样的方法,ln(1+1/(k)+ln(1-1/(k+2)),

极限可以用ln(1+1/x)和ln(1-1/x)的泰勒展开,使用高阶无穷小可以求出

只需要泰勒展开的前面几项就可以了

k趋于无穷时,1/k是趋于0的,这个时候k=1/x(是同价无穷大),从而x趋于0

(1/x)*ln(1-x)=(1/x)*(-x-x^2/2-x^3/3+...)=-1-x/2-x^2/3...；

(1/x)*ln(1+x)=(1/x)*(x-x^2/2+x^3/3-...)=1-x/2+x^2/3...；

k*ln(1-(1/(k+1))+(k+1)*ln(1+1/(k+1))与1/k是同级的无穷小,从而可以求出结果