Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且a n = 1 2 （3n+S n ）对一切正整数n成立

Answer 1

（1）由a _n=

1

2 （3n+S _n）可得S _n=2a _n-3n，故a _n+1=S _n+1-S _n=2a _n+3

∵a ₁=

1

2 （3+S ₁），∴a ₁=3，∴a ₂=9，a ₃=21；

（2）证明：由待定系数法得a _n+1+3=2（a _n+3）

又a ₁+3=6≠0

∴数列{a _n+3}是以6为首项，2为公比的等比数列．

∴a _n+3=6×2 ^n-1，

∴a _n=3（2 ⁿ-1）．

（3）由（2）可得b _n=n2 ⁿ-n，

∴B _n=1×2 ¹+2×2 ²+3×2 ³+…+n×2 ⁿ-（1+2+3+…+n） ①

∴2B _n=1×2 ²+2×2 ³+3×2 ⁴+…+n×2 ⁿ⁺¹-2（1+2+3+…+n） ②

①-②得，-B _n=2+（2 ²+2 ³+…+2 ⁿ）+

n(n+1)

2

化简可得B _n=2+（n-1）2 ⁿ⁺¹-

n(n+1)

2

假设数列{a _n}存在构成等差数列的四项依次为：a _m、a _n、a _p、a _q（m＜n＜p＜q）

则3（2 ^m-1）+3（2 ^q-1）=3（2 ⁿ-1）+3（2 ^p-1）∴2 ^m+2 ^q=2 ⁿ+2 ^p．

上式两边同除以2 ^m，则1+2 ^q-m=2 ^n-m+2 ^p-m

∵m、n、p、q∈N*，且m＜n＜p＜q，

∴上式左边是奇数，右边是偶数，相矛盾．

∴数列{a _n}不存在构成等差数列的四项．