∵2c＝2√7,∴c^2＝7,∴a^2＋b^2＝7,∴a^2＝7－b^2.
∴可设双曲线的标准方程为：x^2/（b^2－7）－y^2/b^2＝1.
联立：y＝x＋1、x^2/（7－b^2）－y^2/b^2＝1,消去x,得：
（y－1）^2/（7－b^2）－y^2/b^2＝1,
∴b^2（y^2－2y＋1）－（7－b^2）y^2＝b^2（7－b^2）,
∴（2b^2－7）y^2－2b^2y＋b^2－b^2（7－b^2）＝0,
∴（2b^2－7）y^2－2b^2y＋b^4－6b^2＝0.
∵点M、N都在直线y＝x＋1上,∴可设M、N的坐标分别为（m－1,m）、（n－1,n）.
显然,m、n是方程（2b^2－7）y^2－2b^2y＋b^4－6b^2＝0的两根,∴由韦达定理,有：
m＋n＝（b^4－6b^2）/（2b^2－7）,又（m＋n）/2＝－2/3,∴m＋n＝－4/3,
∴（b^4－6b^2）/（2b^2－7）＝－4/3,∴3b^4－18b^2＝－8b^2＋28,
∴3b^4－10b^2－28＝0,
∴判别式＝100＋4×3×28＝436＝4×109,∴b^2＝（10＋2√109）/6,
∴7－b^2＝7－（10＋2√109）/6＝（32－2√109）/6.
∴满足条件的双曲线标准方程是：x^2/［（32－2√109）/6］－y^2/［（10＋2√109）/6］＝1.