Question

（2014•南通模拟）数列{an}，{bn}满足a1=b1，且对任意正整数n，{an}中小于等于n的项数恰为bn；{bn

Answer 1

解题思路：（1）利用反证法来推理论证，分a₁=b₁=0，和a₁=b₁≥2，两种情况论证．

（2）利用数学归纳法来证明，假设当n=k时，a_k=b_k=k，k∈N*．推出与假设相矛盾．

（1）首先，容易得到一个简单事实：{a_n}与{b_n}均为不减数列且a_n∈N，b_n∈N．

若a₁=b₁=0，故{a_n}中小于等于1的项至少有一项，从而b₁≥1，这与b₁=0矛盾．

若a₁=b₁≥2，则{a_n}中没有小于或等于1的项，从而b₁=0，这与b₁≥2矛盾．

所以，a₁=1

（2）假设当n=k时，a_k=b_k=k，k∈N*．

若a_k+1≥k+2，因{a_n}为不减数列，故{a_n}中小于等于k+1的项只有k项，

于是b_k+1=k，此时{b_n}中小于等于k的项至少有k+1项（b₁，b₂，…，b_k，b_k+1），

从而a_k≥k+1，这与假设a_k=k矛盾．

若a_k+1=k，则{a_n}中小于等于k的项至少有k+1项（a₁，a₂，…，a_k，a_k+1），

于是b_k≥k+1，这与假设b_k=k矛盾．

所以，a_k+1=k+1．

所以，当n=k+1时，猜想也成立．

综上，由（1），（2）可知，a_n=b_n=n对一切正整数n恒成立．

所以，a_n=n，即为所求的通项公式

点评：

本题考点： 进行简单的演绎推理．

考点点评： 本题主要考查了推理论证的反证法和数学归纳法，反证法关键推证和谁相矛盾，已知，定义，定理，公里，属于中档题．