Question

（2010•天津模拟）数列{an}满足a1=2，an+1=an2+6an+6（n∈N×）

Answer 1

解题思路：（I）由已知可得，a_n+1+3=（a_n+3）²，利用构造法令C_n=log₅（a_n+3），则可得

c

n+1

c

n

＝2

，从而可证数列{c_n}为等比数列

（II）由（I）可先求数列c_n，代入c_n=log₅（a_n+3）可求a_n

（III）把（II）中的结果代入整理可得，

b

n

＝

1

a

n

−6

−

1

a

n+1

−6

，则代入T_n=b₁+b₂+…+b_n相消可证

（Ⅰ）由a_n+1=a_n²+6a_n+6得a_n+1+3=（a_n+3）²，

∴

log(an+1+3)5=2

log(an+3)5，即c_n+1=2c_n

∴{c_n}是以2为公比的等比数列．

（Ⅱ）又c₁=log₅5=1，

∴c_n=2^n-1，即

log(an+3)5=2^n-1，

∴a_n+3=52n−1

故a_n=52n−1-3

（Ⅲ）∵b_n=[1

an−6-

1

an2+6an=

1

an−6-

1

an+1−6，∴T_n=

1

a1−6-

1

an+1−6=-

1/4]-[1

52n−9．

又0＜

1

52n−9≤

1

52−9=

1/16]．

∴-[5/16]≤T_n＜-[1/4]

点评：

本题考点： 数列的求和；等比关系的确定；数列递推式．

考点点评： 本题考查了利用定义证明等比数列：数列{an}为等比数列⇔anan−1＝q≠0；利用构造法求数列的通项公式及数列的求和公式，属于对基本知识的综合考查．试题难度不大．