已知函数f(x)=12(x−1)2+㏑x−ax+a.

1个回答

  • 解题思路:(Ⅰ)先求出函数的导数,利用导数在某点取得极值的条件即可得出;

    (Ⅱ)先求导,通过对a分类讨论以确定f(x)的正负,即函数f(x)的单调性即可得出.

    (I)函数f(x)的定义域为(0,+∞).

    f(x)=x−1+

    1

    x−a,

    当a=

    3

    2时,f′(x)=x+

    1

    x−

    5

    2=

    2x2−5x+2

    2x,

    令f(x)=0,解得x=

    1

    2或2.列表:

    x (0,

    1

    2) [1/2] (

    1

    2,2) 2 (2,+∞)

    f(x) + 0 - 0 +

    f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 等单调递增函数f(x)在x=

    1

    2处取得极大值f(

    1

    2)=−

    1

    8−ln2,

    函数f(x)在x=2处取得极小值f(2)=ln2-[1/2];

    (II)f′(x)=x+

    1

    x−(1+a),当x∈(1,3)时,(x+

    1

    x)∈(2,

    10

    3),

    (i)当1+a≤2,即a≤1时,x∈(1,3),f(x)>0,函数f(x)在(1,3)是增函数,

    ∀x∈(1,3),f(x)>f(1)=0恒成立;

    (ii)当1+a≥

    10

    3,即a≥

    7

    3时,x∈(1,3)时,f(x)<0,函数f(x)在(1,3)是减函数,

    ∀x∈(1,3),f(x)<f(1)=0恒成立,不合题意,应舍去;

    (iii)当2<1+a<[10/3],即1<a<

    7

    3时,x∈(1,3)时,f(x)先取负,再取0,最后取正,函f(x)在(1,3)先递减,再递增,而f(1)=0,∴∀x∈(1,3),f(x)>f(1)=0不能恒成立;

    综上,a的取值范围是(-∞,1).

    点评:

    本题考点: 函数在某点取得极值的条件;导数在最大值、最小值问题中的应用.

    考点点评: 熟练掌握分类讨论的思想方法、利用导数研究函数的单调性等性质是解题的关键.