解题思路:(Ⅰ)先求出函数的导数,利用导数在某点取得极值的条件即可得出;
(Ⅱ)先求导,通过对a分类讨论以确定f′(x)的正负,即函数f(x)的单调性即可得出.
(I)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
f′(x)=x−1+
1
x−a,
当a=
3
2时,f′(x)=x+
1
x−
5
2=
2x2−5x+2
2x,
令f′(x)=0,解得x=
1
2或2.列表:
x (0,
1
2) [1/2] (
1
2,2) 2 (2,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 等单调递增函数f(x)在x=
1
2处取得极大值f(
1
2)=−
1
8−ln2,
函数f(x)在x=2处取得极小值f(2)=ln2-[1/2];
(II)f′(x)=x+
1
x−(1+a),当x∈(1,3)时,(x+
1
x)∈(2,
10
3),
(i)当1+a≤2,即a≤1时,x∈(1,3),f′(x)>0,函数f(x)在(1,3)是增函数,
∀x∈(1,3),f(x)>f(1)=0恒成立;
(ii)当1+a≥
10
3,即a≥
7
3时,x∈(1,3)时,f′(x)<0,函数f(x)在(1,3)是减函数,
∀x∈(1,3),f(x)<f(1)=0恒成立,不合题意,应舍去;
(iii)当2<1+a<[10/3],即1<a<
7
3时,x∈(1,3)时,f′(x)先取负,再取0,最后取正,函f(x)在(1,3)先递减,再递增,而f(1)=0,∴∀x∈(1,3),f(x)>f(1)=0不能恒成立;
综上,a的取值范围是(-∞,1).
点评:
本题考点: 函数在某点取得极值的条件;导数在最大值、最小值问题中的应用.
考点点评: 熟练掌握分类讨论的思想方法、利用导数研究函数的单调性等性质是解题的关键.