解题思路：（Ⅰ）求导数f′（x），由题意得f′（1）=0，可得a值，代入检验即可；
（Ⅱ）当a=1时可求出f（x）的单调区间及极值点，按极值点在区间[m，m+1]的左侧、内部、右侧三种情况进行即可求得其最小值；
（Ⅲ）对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）-f（x2）|≤e，等价于|f（x1）-f（x2）|≤fmax（x）-fmin（x）≤e．问题转化为求函数f（x）的最大值、最小值问题，用导数易求；
（Ⅰ）f'（x）=aex+（ax-2）ex=（ax+a-2）ex，
由已知得f'（1）=0，即（2a-2）e=0，
解得：a=1，
验证知，当a=1时，在x=1处函数f（x）=（x-2）ex取得极小值，所以a=1；
（Ⅱ）f（x）=（x-2）ex，f'（x）=ex+（x-2）ex=（x-1）ex．
x （-∞，1） 1 （1，+∞）
f'（x） - 0 +
f（x） 减 增所以函数f（x）在（-∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
当m≥1时，f（x）在[m，m+1]上单调递增，fmin（x）=f（m）=（m-2）em．
当0＜m＜1时，m＜1＜m+1，f（x）在[m，1]上单调递减，在[1，m+1]上单调递增，fmin（x）=f（1）=-e．
当m≤0时，m+1≤1，f（x）在[m，m+1]单调递减，fmin(x)＝f(m+1)＝(m−1)em+1．
综上，f（x）在[m，m+1]上的最小值fmin(x)＝
(m−2)em，m≥1
−e，0＜m＜1
(m−1)em+1，m≤0
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=（x-2）ex，f'（x）=ex+（x-2）ex=（x-1）ex．
令f'（x）=0得x=1，
因为f（0）=-2，f（1）=-e，f（2）=0，
所以fmax（x）=0，fmin（x）=-e，
所以，对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）-f（x2）|≤fmax（x）-fmin（x）=e，
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想、转化思想，关于恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．