Question

若函数f（x）=ax3+x恰有3个单调区间，则实数a的取值范围（　　）

Answer 1

解题思路：由题意得f′（x）=3ax²+1．讨论若a≥0，若a＜0时的情况，从而求出a的范围．

由f（x）=ax³+x，得f′（x）=3ax²+1．

若a≥0，f′（x）≥0恒成立，

此时f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，函数只有一个增区间，不满足条件．

若a＜0，由f′（x）＞0，得-

−

1

3a＜x＜

−

1

3a，

由f′（x）＜0，得x＞

−

1

3a或x＜-

−

1

3a，

∴满足f（x）=ax³+x恰有三个单调区间的a的范围是（-∞，0）；

故选：D．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查了函数的单调性，导数的应用，渗透分类讨论思想，是一道基础题．