Question

一道导数应用的题目!已知函数f(x)=a*x的三次方+b*x的二次方+c*x+d（a,b,c,d属于R）,且函数f(x)

Answer 1

1) 因为过原点,所以f(-x)=-f(x),so:

-ax^3+bx^2-cx+d = -ax^3-bx^2-cx-d

bx^2+d=0;

因为对所有数都成立,不妨取x=1代入,有:

b+d=0;

且f(0)=-f(0),2f(0)=0,so:

d=0;

又f'(x)=3ax^2+2bx+c,所以

f'(3)=27a+6b+c=8;

又x=3时,切线上:y=6,所以f(3)=6,有:

27a+9b+3c+d=6;

由上面4个方程解得:a=1/3,b=0,c=-1,d=0;

so:

f(x)=(1/3)x^3-x;

2) g(x)=(1/3)x^3-x

y=x

两个联立,解得交点为:

(sqrt(6),sqrt(6)),(0,0),(-sqrt(6),-sqrt(6));

取区间[-sqrt(6),sqrt(6)],

又,g'(x)=x^2-1=0时,x=+-1,极值为+-2/3,也在这个区间内

所以存在区间[-sqrt(6),sqrt(6)],使得g(x)的值也在这个区间