Question

设n维向量a1，a2，…，ar是一组两两正交的非零向量，证明：a1，a2，…，ar线性无关．

Answer 1

解题思路：直接根据线性组合的定义，写出k₁a₁+k₂a₂+…+k_sa_s=0；然后，利用正交的定义和“a₁，a₂，…，a_r是一组两两正交的非零向量”，得出线性组合的系数为零即可．

证明：设k₁a₁+k₂a₂+…+k_sa_s=0，则

a_i（k₁a₁+k₂a₂+…+k_sa_s）=0，（i=1，2，…，s） （*）

因为 a₁，a₂，…，a_s两两正交且非零，

则a_i*a_j=0（i≠j），且 aiai＝

a2i≠0，

所以由（*）得

0+0+…+ki

a2i+..+0＝0，即 ki

a2i＝0，（i=1，2，…，s）

由于

a2i≠0，则k_i=0（i=1，2，…，s），

因此，a₁，a₂，…，a_s线性无关．

点评：

本题考点： 向量组线性无关的判定与证明；线性无关的概念；向量正交．

考点点评： 此题考查线性无关的定义和向量正交的性质和定义，是基础知识点．