解题思路:(1)把函数f(x)的解析式代入函数F(x)利用函数是偶函数求出b=0,把b=0代回函数F(x)的解析式,由F(x)≥ax恒成立分离出参数a,然后利用基本不等式求最值,则a的范围可求;
(2)把a=1代入函数f(x)的解析式,求出函数g(x)解析式,由偶函数的定义得到函数g(x)为定义域上的偶函数,把函数g(x)在(-∞,-1)上是减函数,在(-1,0)上是增函数转化为在区间(1,+∞)上是增函数,在(0,1)上是减函数,换元后利用复合函数的单调性得到换元后的二次函数的对称轴,由对称轴可求λ的值.
(1)F(x)=f(x)+
2
bx+1=x2+a+
2
bx+1.
由F(x)是偶函数,∴F(-x)=F(x),即(−x)2+a+
2
−bx+1=x2+a+
2
bx+1
∴-bx+1=bx+1,∴b=0.
即F(x)=x2+a+2,x∈R.
又F(x)≥ax恒成立,即x2+a+2≥ax恒成立,也就是a(x-1)≤x2+2恒成立.
当x=1时,a∈R
当x>1时,a(x-1)≤x2+2化为a≤
x2+2
x−1=(x−1)+
3
x−1+2,
而(x−1)+
3
x−1+2≥2
(x−1)•
3
x−1+2=2
3+2,∴a≤2
3+2.
当x<1时,a(x-1)≤x2+2化为a≥
x2+2
x−1=(x−1)+
3
x−1+2,
而(x−1)+
3
x−1+2=−[(1−x)+
3
1−x]+2≤−2
(1−x)•
3
1−x+2=2−2
3,∴
点评:
本题考点: 函数恒成立问题.
考点点评: 本题考查了函数的性质,考查了函数的单调性与奇偶性的应用,考查了分类讨论的数学思想方法,训练了分离变量及利用基本不等式求参数的取值范围,考查了二次函数的单调性.属难题.