解题思路：（1）把函数f（x）的解析式代入函数F（x）利用函数是偶函数求出b=0，把b=0代回函数F（x）的解析式，由F（x）≥ax恒成立分离出参数a，然后利用基本不等式求最值，则a的范围可求；
（2）把a=1代入函数f（x）的解析式，求出函数g（x）解析式，由偶函数的定义得到函数g（x）为定义域上的偶函数，把函数g（x）在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，0）上是增函数转化为在区间（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数，换元后利用复合函数的单调性得到换元后的二次函数的对称轴，由对称轴可求λ的值．
（1）F(x)＝f(x)+
2
bx+1＝x2+a+
2
bx+1．
由F（x）是偶函数，∴F（-x）=F（x），即(−x)2+a+
2
−bx+1＝x2+a+
2
bx+1
∴-bx+1=bx+1，∴b=0．
即F（x）=x2+a+2，x∈R．
又F（x）≥ax恒成立，即x2+a+2≥ax恒成立，也就是a（x-1）≤x2+2恒成立．
当x=1时，a∈R
当x＞1时，a（x-1）≤x2+2化为a≤
x2+2
x−1＝(x−1)+
3
x−1+2，
而(x−1)+
3
x−1+2≥2
(x−1)•
3
x−1+2＝2
3+2，∴a≤2
3+2．
当x＜1时，a（x-1）≤x2+2化为a≥
x2+2
x−1＝(x−1)+
3
x−1+2，
而(x−1)+
3
x−1+2＝−[(1−x)+
3
1−x]+2≤−2
(1−x)•
3
1−x+2＝2−2
3，∴
点评：
本题考点： 函数恒成立问题．
考点点评： 本题考查了函数的性质，考查了函数的单调性与奇偶性的应用，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了分离变量及利用基本不等式求参数的取值范围，考查了二次函数的单调性．属难题．