Question

线性代数 证明证明 ：三维行向量空间R3中的向量集合V=｛（x,y,z)|x+y+z=0} 是向量空间 并求出他的维数和

Answer 1

1.对于V中任意两个向量v1=(x1,y1,z1) 和 v2=(x2,y2,z2)

有 x1+y1+z1 = 0,x2+y2+z2 = 0

(x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2) = (x1+y1+z1)+(x2+y2+z2)=0

因此 v1+v2 = (x1+x2,y1+y2,z1+z2) ∈ V

2.对于V中任意向量v1=(x1,y1,z1)和任意实数 k

有 x1+y1+z1 = 0

kx1+ky1+kz1 = k(x1+y1+z1)=0

因此 kv1 = (kx1,ky1,kz1) ∈ V

由1,2可知,V是向量空间.

x+y+z=0的参数表示为：x=u,y=v,z=-u-v,(u,v∈R)

令u=1,v=0得,v=(1,0,-1)

令u=0,v=1得,w=(0,1,-1)

由 k1*v+k2*w=0得,(k1,0,-k1)+(0,k2,-k2)=0,(k1,k2,-k1-k2)=0

必有k1=k2=0,v,w线性无关

又对于任意(x,y,z)∈V,有x+y+z=0,z=-x-y

(x,y,z) = (x,y,-x-y) = (x,0,-x)+(y,0,-y) = x*v+y*w

因此{v,w}是V的一个基,|V|=2