Question

已知函数f（x）=-x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域（图中

Answer 1

解题思路：根据导数的几何意义以及导数的基本运算，结合积分公式，即可得到结论．

∵函数f（x）=-x³+ax²+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，

∴函数的导数f′（x）=-3x²+2ax+b，且f′（0）=b=0，

则f（x）=-x³+ax²，

∵x轴与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为[1/12]，

∴由f（x）=-x³+ax²=0解得x=0或x=a，由图象可知a＜0，

则根据积分的几何意义可得-

∫0a(−x3+ax2)dx=-（−

1

4x4+

1

3ax3）|

0a=[1/12a4＝

1

12]，

即a⁴=1，解得a=-1或a=1（舍去），

故选：C

点评：

本题考点： 定积分在求面积中的应用．

考点点评： 本题主要考查导数的几何意义的应用以及利用积分求阴影部分的面积的计算，要求熟练掌握导数的应用．