Question

求函数Y=(e^x -a)^2+(e^-x -a)^2 a>0的最小值

Answer 1

先换个元:令e^x=t 则t>0

y=(t-a)^2+(1/t-a)^2=t^2+1/t^2-2a(t+1/t)+2a^2

注意到t^2+1/t^2=(t+1/t)^2-2

y=(t+1/t)^2-2a(t+1/t)+2a^2-2

再次换元:令u=t+1/t>=2√(t*1/t)=2

y=f(u)=u^2-2au+2a^2-2=(u-a)^2+a^2-2 u>=2

当a>=2

y最小值为f(a)=a^2-2

当a