Question

已知抛物线y2=4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程．

Answer 1

解题思路：欲求点M的轨迹方程，设M（x，y），只须求得坐标x，y之间的关系式即可．再设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），易求y²=4x的焦点F的坐标为（1，0）结合中点坐标公式即可求得x，y的关系式．

设M（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），易求y²=4x的焦点F的坐标为（1，0）

∵M是FQ的中点，

∴

x＝

1+x2

2

y＝

y2

2⇒

x2＝2x−1

y2＝2y，又Q是OP的中点

∴

x2＝

x1

2

y2＝

y1

2⇒

x1＝2x2＝4x−2

y1＝2y2＝4y，

∵P在抛物线y²=4x上，∴（4y）²=4（4x-2），

所以M点的轨迹方程为y2＝x−

1

2

点评：

本题考点： 圆锥曲线的轨迹问题．

考点点评： 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合运用基础知识解决问题的能力．