Question

设a是实数，函数f（x）=a-22x+1（x∈R）

Answer 1

解题思路：（1）运用函数的单调性的定义证明，注意取值、作差、变形、定符号和下结论；

（2）运用函数的奇偶性的定义，即可解出a，进而说明存在．

（1）证明：设m，n∈R，且m＜n，则

f（m）-f（n）=a-

2

2m+1-（a-

2

2n+1）=

2(2m−2n)

(2m+1)(2n+1)，

由于m＜n，则2^m＜2ⁿ，即2^m-2ⁿ＜0，又2^m＞0，2ⁿ＞0，则f（m）-f（n）＜0，

所以，对任意a，f（x）在R上为增函数．

（2）假设存在a，使f（x）为奇函数．

则f（-x）+f（x）=0，即有a-

2

2−x+1+a-

2

2x+1=0，

即2a=

2•2x

1+2x+

2

1+2x=2，解得，a=1．

则存在a=1，使f（x）为奇函数．

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断与证明，注意运用定义，考查运算能力，属于基础题．