Question

设函数f（x）,满足f（x）=｜x^3+1｜,(｜x ｜≥1 )且2sin(xπ/2),(｜x ｜＜1) .则y=f｛f

Answer 1

设t=f(x)=|x^3+1|,(|x|≥1); 或 2sin(πx/2),|x|<1,则t即为f(x)的值域∵|x^3+1|的值域为[0,+∞),2sin(πx/2)的值域为(-2,2)∴f(x)的值域为(-2,+∞),即t∈(-2,+∞)y=f{f(x)}-1的零点即 y=f(t)-1=0,即f(t)=1即|t^3+1|=1,|t|≥1; 或 2sin(πt/2)=1,|t|<1,第一个方程,可解得t=-2^(1/3),(t=0<1舍弃)第二个方程,可解得t=1/3,(t=5/3>1舍弃)当t=-2^(1/3)时,只有2sin(πx/2)可以取得,可以计算,在其定义域|x|<1内有1个解当t=1/3时,|x^3+1|或2sin(πx/2)均可取得,可以计算,在前者的定义域|x|≥1内有1个解,在后者的定义域|x|<1内有1个解,在整个定义域内共有2个解 综上所述,y=f{f(x)}-1的零点共有1+2=3个