1. ∠OAB=30°, AB的斜率为tg(180°-30°) = -1/√3
AB的方程为: y =-(1/√3)x + b, (1/√3)x +y - b = 0 (显然b >0）
|OP| = |-b|/√(1/3+1) = √3b/2 = 2 (圆O的半径)
b = 4/√3
AB的方程为: y =-(1/√3)x + 4/√3
取y = 0 和 x = 0, 可得A(4,0), B(0, 4/√3)
|AB| = √(16 +16/3)=8√3/3
2. 设圆O上存在点Q,使得Q、O、A、P为顶点的四边形是平行四边形. 显然使QP与x轴平行且|QP|=|OA|即可.
设AB的斜率为k（显然k<0), AB的方程为y = kx + c, kx -y + c = 0 (显然c > 0)
|OP| = |c|/√(k²+1) = c/√(k²+1) = 2 (圆O的半径)
c = 2√(k²+1)
AB的方程为y =kx + 2√(k²+1)
取y = 0, A(-2√(k²+1)/k, 0)
OP的斜率为-1/k
OP的方程为y =-x/k
联立AB和OP的方程,得P(-2k/√(k²+1), 2/√(k²+1))
显然PQ与OA平行, PQ的方程为 y = 2/√(k²+1)
圆O方程为x² + y² = 4
联立圆O与PQ的方程, 交点的横坐标为 x = 2k/√(k²+1) (Q), x = -2k/√(k²+1) (P)
|PQ| = -4k/√(k²+1)
|OA| = -2√(k²+1)/k
|PQ| = |OA|
k²= 1
k = 1(P不在第一象限, 舍去）
k = -1
Q(-√2, √2)