在△ABC中，已知a、b、c分别为角A、B、C的对 - 知识问答

在△ABC中，已知a、b、c分别为角A、B、C的对边，求证：a2sin2B+b2sin2A=2absinC．

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解题思路：可运用正弦定理的变形：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入恒等式的左边，运用二倍角的正弦和两角和的正弦公式，化简得到8RsinA•sinB•sinC，同样对右边运用变形即可证得．
证明：∵△ABC中，
a
sinA＝
b
sinB＝
c
sinC＝2R（R为外接圆的半径）
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∴a²sin2B+b²sin2A=2a²sinB•cosB+2b²sinA•cosA
=8R²sinA•sinB•（sinAcosB+sinBcosA）
=8R²sinA•sinB•sin（A+B）
=8R²sinA•sinB•sin（π-C）
=8R²sinA•sinB•sinC，
又2absinC=2•2RsinA•2RsinB•sinC=8R²sinA•sinB•sinC，
∴a²sin2B+b²sin2A=2absinC．
点评：
本题考点：正弦定理；三角函数恒等式的证明．
考点点评：本题主要考查正弦定理及应用，注意边化为角，考查二倍角的正弦以及两角和的正弦公式，考查运算化简能力，是一道基础题．

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