解题思路：（1）利用函数的单调性定义推导函数是否单调，然后假设满足条件②，利用单调性求最值，进行推导；（2）先单调性可以利用定义法证明函数的单调性，然后数形结合，利用根的存在性定理说明存在性；（3）函数在定义域R上连续，利用函数的性质证明单调，然后假设属于M，求m范围．
（1）设x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2则
g（x1）-g（x2）=-x
21+x
22=（x2+x1）（x2-x1），
∵x1，x2∈[0，+∞），x1＜x2，
∴x2+x1＞0，x2-x1＞0，
∴（x2+x1）（x2-x1）＞0，
即g（x1）-g（x2）＞0，
g（x1）＞g（x2），
函数g（x）=-x2（x∈[0，+∞））在其定义域上是单调递减，满足①；
假设函数g（x）∈M，则存在区间[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b．
又由①可知函数g（x）=-x2（x∈[0，+∞））在其定义域上是单调递减，
则函数g（x）在其[a，b]上是单调递减，
得
−a2＝b
−b2＝a
b＞a≥0满足条件的解不存在，
则假设不成立，函数g（x）=-x2（x∈[0，+∞））不属于集合M．
（2）证明：函数f（x）=3log2x定义域为{x|x＞0}，
设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2则
f（x1）-f（x2）=3log2x1-3log2x2=3log2
x1
x2，
∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
∴
x1
x2＜1，
∴3log2
x1
x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
函数f（x）=3log2x在其定义域上是单调递增．
假设f（x）∈M，在函数f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b，
则
3log2a＝a
3log2b＝b，令g（x）=2
x/3]-x，则有g（1）＞0，g（3）＜0，g（9）＜0，g（12）＞0，如右图
存在1＜a＜3，9＜b＜12，使得g（a）=0，g（b）=0，
也就是函数f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b
综上，函数f（x）=3log2x属于集合M得证．
（3）m=0时，函数f（x）=0，不属于M，则m≠0
f（x）的定义域为R，函数f（x）=[mx
1+|x|=
m
1/x+1，x＞0
0，x＝0
m
1
x−1，x＜0]
当m＞0时，f（x）分别在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递增，且∀x＜0，f（x）＜0，∀x＞0，f（x）＞0，则f（x）在R上单调递增，
同理可证当m＜0时，f（x）在R上单调递减，则函数在定义域上为单调函数．
若函数f（x）=
mx
1+|x|属于集合M，则在函数f（x）的定义域R内存在闭区间[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b．
即方程数
mx
1+|x|=x有两个不等实根，也就是
m
1+|x|=1，则m=1+|x|≥1
综上，m≥1
点评：
本题考点： 函数的最值及其几何意义．
考点点评： 本题新定义题，注意条件的使用，在（2）中转化为函数后，使用根的存在性定理判断，降低计算难度．