Question

用单调有界数列收敛准则证明数列极限存在.（1）X1>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)(n=1,2...,a>0)

Answer 1

（1）X1>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)(n=1,2...,a>0)

Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)=(Xn^2+a)/2Xn》2Xn√a/2Xn=√a

故Xn》√a n》2 数列有下界

又：X3-X2=1/2(X2+a/X2)-X2=(1/2)(a/X2-X2)=(a-X2^2)/(2X2)《0 X3《X2

而：Xn+1-Xn=1/2(Xn+a/Xn)-1/2(X(n-1)+a/X(n-1)

=(1/2)(Xn-X(n-1))(XnX(n-1)-a)/XnX(n+1) 故Xn+1-Xn《0

Xn单减有下界,极限存在

(2)X1=√2,Xn+1=√(2Xn)

X1=√2√2(Xn-X(n-1))/4,故Xn+1-Xn>0

Xn单增有上界,极限存在