首先声明,以下是帮助理解的,有些讲法不严格,但结论都是对的.
所谓的“保号性”,“保序性”,或者更干脆直接叫“比较性”,本质都一样的,也就是如果f >= T,那么lim f >= T,可以用极限定义来证明.
T=0就是所谓的保号性；
如果f >= g,那么f-g >= 0,lim(f-g) >= 0,于是lim f >= lim g,就是所谓的保序性或者比较性.
所谓的局部有界性,就是说lim{x->A}f(x) = B就可以推出f(x)在A的局部有界,这个也是直接从定义得到的.
这个性质特别常用的一种方式就是如果B>0,那么存在d>0使得f(x)在(A-d,A+d)上大于B/2,或者更简单一点直接写成f(x)>0.
这些都是关于函数取值方面的性质,和自变量的变化方式的具体形式x->oo或者x->A没有太必然的关系.