Question

已知f(x)＝log4(2x+3−x2)，

Answer 1

解题思路：（1）由

f(x)＝lo

g

4

(2x+3−

x

2

)

，先求出其定义域，再利用复合函数的单调性的性质，能求出函数f（x）的单调区间．

（2）令t=2x+3-x²，x∈（-1，3），则t=2x+3-x²=-（x-1）²+4≤4，由此能求出函数f（x）的最大值，并求取得最大值时的x的值．

（1）由f(x)＝log4(2x+3−x2)，

得2x+3-x²＞0，解得-1＜x＜3，

设t=2x+3-x²，

∵t=2x+3-x²在（-1，1]上单调增，在[1，3）上单调减，

而y=log₄t在R上单调增，

∴函数f（x）的增区间为（-1，1]，减区间为[1，3）．

（2）令t=2x+3-x²，x∈（-1，3），

则t=2x+3-x²=-（x-1）²+4≤4，

∴f（x）=log4(2x+3−x2)≤log₄4=1，

∴当x=1时，f（x）取最大值1．

点评：

本题考点： 复合函数的单调性．

考点点评： 本题考查对数函数的单调区间和最大值的求法，解题时要认真审题，注意换元法和配方法的合理运用．