楼上显然错误.
下面是我自己的一点想法：
首先,我不知道你的问题到底是每次只能用一个3的倍数和一个5的倍数相加,抑或可以用很多个.不过没有关系,下面的方法对两个问题同样适用.下面假定每次只能用一个3的倍数和一个5的倍数.
先估计一下1到100的自然数中,3的倍数与5的倍数的和的上界：99+100=199
注意到如下事实：对一个自然数n,如果它能表示为3的倍数和5的倍数的和,即存在正整数p,q,使得n=3p+5q.如果q≥3,那么n+1=3(p+2)+5(q-1),n+2=3(p+4)-5(q-2)都可表示为3的倍数和5的倍数的和.
现在考虑18到199之间的正整数,18=3+5+5+5=3x1+5x3,19=3x3+5x2,20=3x5+5x1.然后,21=18+3=3x2+5x3,于是22=3x4+5x2,23=3x6+5x1,到了24又有24=18+3+3,于是利用24又可以表出25,26,然后27=18+3+3+3,……这样一直下去就知道18到199之间所有的正整数都可以表示为3的倍数和5的倍数的和.
下面计算1到17中满足条件的数：3+5=8,6+5=11,3+10=13,9+5=14,6+10=16,12+5=17,共计6个.
于是1到100的自然数中,3的倍数与5的倍数共能组成不同的和的个数为
6+199-18+1=188