Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC=15，cos∠A=[4/5]．点M在AB边上，AM=2MB，点P是边AC上的一个动

Answer 1

解题思路：（1）作BH⊥AC于点H，求出AH=12，BH=9，求出CH，根据勾股定理得出BC²=BH²+CH²，求出即可；

（2）作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，求出OE=OF=[1/2]BH=[9/2]，求出PC=15-x，根据y=S_△ABC-S_△BOM-S_△COP和三角形面积公式求出即可；

（3）①当PN⊥AC时，作MG⊥AC于点G，求出AG=8，MG=6，①若点P₁在AG上，由折叠知∠AP₁M=135°，求出P₁G=MG=6，代入AP₁=AG-P₁G求出即可；②若点P₂在CG上，由折叠知∠AP₂M=45°，求出P₂G=MG=6，代入AP₂=AG+P₂G求出即可；③当MN⊥AC时，

由折叠知∠AMP₃=∠NMP₃，求出P₃G=8-x，GN₃=4，根据P₃N₃²=P₃G²+GN₃²得出x²=（8-x）²+4²，求出即可．

（1）作BH⊥AC于点H，如图1，

∵在Rt△ABH中，cos∠A=[4/5]，AB=15，

∴AH=12，

∴BH=9，

∵AC=15，

∴CH=3，

∵BC²=BH²+CH²，

∴BC²=9²+3²=90，

∴BC=3

10．

（2）作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，如图2，

∵OE⊥AB，OF⊥AC，点O是BC的中点，AB=AC，

∴OE=OF=[1/2]BH=[9/2]，

∵AM=2MB，AB=AC=15，

∴AM=10，BM=5，

∵PA=x，

∴PC=15-x，

∴y=S_△ABC-S_△BOM-S_△COP

=[1/2]BH•AC-[1/2]OE•BM-[1/2]OF•PC

=[1/2]×9×15-[1/2]×[9/2]×5-[1/2]×[9/2]×（15-x）

即y=[9/4]x+[45/2]．定义域是0＜x≤15．

（3）①当PN⊥AC时，如图2，作MG⊥AC于点G，

∵在Rt△AMG中，cos∠A=[4/5]，AM=10，

∴AG=8，

∴MG=6，

②若点P₁在AG上，∠AP₁N₁=90°，由折叠知：∠AP₁M=∠N₁P₁M=135°，

∴∠MP₁G=45°，

∵MG⊥AC，

∴P₁G=MG=6，

∴AP₁=AG-P₁G=2．

③若点P₂在CG上，由折叠知：∠AP₂M=45°，

∵MG⊥AC，

∴P₂G=MG=6，

∴AP₂=AG+P₂G=14．

④当MN⊥AC时，如图3，

由折叠知：∠AMP₃=∠NMP₃，P₃N₃=AP₃=x，MN₃=MA=10，

∴P₃G=8-x，GN₃=4，

∵P₃N₃²=P₃G²+GN₃²，

∴x²=（8-x）²+4²，

∴x=5，

综上所述，x=2或5或14时满足△MPN的一条边与AC垂直．

点评：

本题考点： 相似形综合题．

考点点评： 本题考查了折叠性质，勾股定理，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度偏大．