过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左焦点F作直线叫双曲线的两条渐近线与A,B两点.若FA=2

1个回答

  • 两条渐近线的方程为y=±bx/a,

    F(-c,0), 设过点F的直线为 y=k(x+c) (*)

    点A(x1,y1)在直线y=bx/a上,代入(*),

    所以点A的坐标为 (kac/(b-ak),kbc/(b-ak))

    点B(x2,y2)在直线y=-bx/a上,代入(*)

    所以点B的坐标为(-kac/(b+ak),kbc/(b+ak))

    因FA=2FB, 所以Y1=2y2 , kbc/(b-ak)=2kbc/(b+ak)èk=b/3a

    把k=b/3a代入点A,B的坐标,得A(c/2,bc/2a), B(-c/4,bc/4a)

    因OB*OA=(OB)^2, c/2*(-c/4)+(bc/2a)*(bc/4a)=(-c/4)^2+(bc/4a)^2,

    化简得b^2=3a^2, (c^2-a^2)=3a^2, e=2