Question

证明(m+n)/2≥√（m^n*n^m）开m+n次方

Answer 1

令n/(m+n)=x,m/(m+n)=1-x,m+n=n/x

(m+n)/2=n/2*(1+1/x)

√（m^n*n^m）开m+n次方

=m^(n/m+n)*n^(m/m+n)

=m^x*n^(1-x)

n/2*(1+1/x)/[m^x*n^(1-x)]

=(1+1/x)/2*(n/m)^x

由于x=n/(m+n)=1,1+1/x>=2

那么(1+1/x)/2>=1

对于

(n/m)^x=(n/m)^[n/(m+n)]

当m=n时,(n/m)^x=1

当m>n时,n/m1,(n/m)^x>1

因此(n/m)^x>=1

所以(1+1/x)/2*(n/m)^x>=1*1=1

(m+n)/2≥√（m^n*n^m）开m+n次方

证毕