反证法
设AX1=λ1X1,x1≠0
AX2=λ2X2,x2≠0
且λ1≠λ2
若x1,x2线性相关
则存在k≠0,使X1=kx2
∴AX1=Akx2=kAx2=kλ2X2
AX1=λ1X1=λ1kx2
∴λ1kX2=kλ2X2
∴λ1=λ2
与λ1≠λ2矛盾
∴分属于不同特征值的特征向量线性无关
为什么分属于不同特征值的特征向量就线性无关呢?
反证法
设AX1=λ1X1,x1≠0
AX2=λ2X2,x2≠0
且λ1≠λ2
若x1,x2线性相关
则存在k≠0,使X1=kx2
∴AX1=Akx2=kAx2=kλ2X2
AX1=λ1X1=λ1kx2
∴λ1kX2=kλ2X2
∴λ1=λ2
与λ1≠λ2矛盾
∴分属于不同特征值的特征向量线性无关