Question

已知：数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝n(a1+an)2，

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）再写一式，两式相减，即可证明{a_n}是等差数列；

（Ⅱ）利用数学归纳法证明．

证明：（Ⅰ）当n≥2时，Sn＝

n(a1+an)

2①，Sn−1＝

(n−1)(a1+an−1)

2②

①-②得：an＝

n(a1+an)

2−

(n−1)(a1+an−1)

2

∴2a_n=na_n-（n-1）a_n-1+a₁③…（2分）2a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n+a₁④

④-③得：2a_n+1-2a_n=（n+1）a_n+1-2na_n+（n-1）a_n-1…（3分）

∴（n-1）a_n+1+（n-1）a_n-1=2（n-1）a_n…（4分）

即：a_n+1+a_n-1=2a_n

∴{a_n}是等差数列；…（5分）

（Ⅱ）①当n=1时，

1

a21＝

1

(1+a)2＜

1

(1+

a

2)(1+

3

2a)不等式成立，…（6分）

②假设n=k（k≥1）时，不等式成立，

即[1

a21+

1

a22+…+

1

a2k＜

k

(1+

a/2)(1+

2k+1

2a)]…（7分）

那么n=k+1时，

1

a21+

1

a22+…+

1

a2k+

1

a2k+1＜

k

(1+

a

2)(1+

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合．

考点点评： 本题考查等差数列的证明，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确运用数学归纳法是关键．