Question

在各项都为正数的等比数列{a n }中，已知a 3 =4，前三项的和为28．

Answer 1

（Ⅰ）设公比为q，则有a ₃=4，前三项的和为28，

知

a 1 q 2 =4

a 1 (1- q 3 )

1-q =28 ，

解得 a 1 =16，q=

1

2 ，或 a 1 =36，q=-

1

3 ．

∵等比数列{a _n}各项都为正数，

∴ a 1 =36，q=-

1

3 不合题意，舍去．

∴ a 1 =16，q=

1

2 ，

a n =16× (

1

2 ) n-1 =32× (

1

2 ) n ．

（Ⅱ）∵ a n =32× (

1

2 ) n ，

∴b _n=log ₂a _n= log 2 [32×(

1

2 ) n ] =5-n．

S _n=b ₁+b ₂+…+b _n=4+3+2+…+（5-n）

=

n(9-n)

2 ．

∴

S n

n =

9-n

2 ，

∴

S 1

1 +

S 2

2 +…+

S n

n =

9-1

2 +

9-2

2 +…+

9-n

2

=

9n

2 -

n(n+1)

2

=-（

1

2 n 2 -4n ）

= -

1

2 (n-4 ) 2 +8 ．

∴n=4时，

S 1

1 +

S 2

2 +…+

S n

n 取最大值8．