Question

设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn=an+12-4n-1，n∈N*，且a2，a5，a14恰为等比数

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由已知条件推导出

a

2

n+1

＝(

a

n

+2

)

2

，由此能够证明{a_n}为首项是1，公差为2的等差数列．

（Ⅱ）a_n=2n-1，

b

n

＝

3

n

，利用错位相减求和法能求出数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

（Ⅰ）证明：当n≥2时，4Sn−1＝

a2n−4(n−1)−1，

∴4an＝4Sn−4Sn−1＝

a2n+1−

a2n−4，

∴

a2n+1＝(an+2)2，∵a_n＞0，∴a_n+1=a_n+2，…（2分）

∴n≥2时，{a_n}为公差为2的等差数列，

∴a₂，a₅，a₁₄恰为等比数列{b_n}的前三项，

∴a52＝a2a14，

即(a2+6)2＝a2(a2+24)，解得a₂=3，…（3分）

由条件知4a1＝a22−5，则a₁=1，…（4分）

∴a₂-a₁=2=a_n+1-a_n，

∴{a_n}为首项是1，公差为2的等差数列．…（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n-1，bn＝3n，…（8分）

∴Tn＝1×3+3×32+5×33+…+(2n−1)3n，

两边同乘以3得，3Tn＝1×32+3×33+…+(2n−3)3n+(2n−1)3n+1，…（9分）

两式相减得−2Tn＝1×3+2(32+33+…+3n)−(2n−1)3n+1

=3+2

32(1−3n−1)

1−3−(2n−1)3n+1＝−6+(2−2n)3n+1，…（12分）

∴Tn＝3+(n−1)3n+1．…（13分）

点评：

本题考点： 数列的求和；等差关系的确定．

考点点评： 本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减求和法的合理运用．