Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1⊥BC1，AB=CC1=1，BC=2．

Answer 1

解题思路：（1）欲证A₁C₁⊥AB，可先证A₁C₁⊥平面ABB₁，根据线面垂直的判定定理可知只需证AB₁⊥A₁C₁，A₁C₁⊥BB₁；

（2）由（1）知点B₁到平面ABC₁的距离是三棱锥B₁-ABC₁的高，求出

S

△AB

C

1

，再利用换低公式和体积相等求出点B₁到平面ABC₁的距离．

（1）证明：连接A₁B，则A₁B⊥AB₁．

又∵AB₁⊥BC₁，

∴AB₁⊥平面A₁BC₁．

∴AB₁⊥A₁C₁．

又∵A₁C₁⊥BB₁，

∴A₁C₁⊥平面ABB₁．

∴A₁C₁⊥AB．

（2）由（1）知AB⊥AC，∵AB⊥AC₁，

又∵AB=1，BC=2，

∴AC=

3，AC₁=2．

∴S△ABC1=1．

设所求距离为d，

∴VB1−ABC1＝VC1−ABB1．

∴[1/3]S_△ABC₁•d=[1/3S△ABB1•A₁C₁．

∴

1

3]•1•d=[1/3]•[1/2]•

3．

∴d=

3

2．点B₁到平面ABC₁的距离d=

3

2．

点评：

本题考点： 点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及点、线、面间的距离计算等有关知识，注意求点到面的距离可用体积相等和换底求解；属于中档题．